4.1 – Estadística descriptiva

La suma de los tiempos de los primeros tres nadadores se obtiene multiplicando la media por \(3\).

\[3\times55.2=165.6\]

La suma de los tiempos de los primeros cuatro nadadores se obtiene multiplicando la nueva media por \(4\).

\[4\times56.5=226\]

El tiempo del cuarto nadador es la diferencia entre estas dos sumas.

\[226-165.6=60.4\]

\(60.4\text{ segundos}\)

Primero calculamos la suma de los tiempos de los cinco ciclistas iniciales.

\[5\times32.4=162\]

Luego calculamos la suma de los tiempos de los seis ciclistas.

\[6\times33.2=199.2\]

El tiempo del sexto ciclista es la diferencia entre las dos sumas.

\[199.2-162=37.2\]

\(37.2\text{ minutos}\)

a) En una gráfica de caja, la línea dentro de la caja muestra la mediana.

\(24\text{ minutos}\)

b) El rango es máximo menos mínimo. El máximo es \(39\), por lo tanto:

\[39-p=25\]

\[p=14\]

\(p=14\)

c) El rango intercuartil es \(Q_3-Q_1\). Aquí \(Q_1=20\), así que:

\[q-20=12\]

\[q=32\]

\(q=32\)

a) La línea dentro de la caja marca la mediana del tiempo de estudio semanal.

\(7\text{ horas}\)

b) El rango es \(18-p\), y se da que el rango es \(17\).

\[18-p=17\]

\[p=1\]

\(p=1\)

c) El rango intercuartil es \(q-3\), y se da que vale \(10\).

\[q-3=10\]

\[q=13\]

\(q=13\)

a) La moda es el valor con mayor frecuencia. La mayor frecuencia es \(20\), correspondiente a \(X=1\).

\(\text{Moda}=1\)

b) El rango es el valor mayor menos el valor menor.

\[13-1=12\]

\(\text{Rango}=12\)

c) Para la media, multiplicamos cada valor por su frecuencia y dividimos por el total.

\[\bar{x}=\frac{1(20)+4(8)+8(13)+11(4)+13(2)}{20+8+13+4+2}\]

\[\bar{x}=\frac{226}{47}\approx4.81\]

\(\bar{x}\approx4.81\)

d) Con la calculadora, la desviación estándar poblacional es aproximadamente \(3.901\). La varianza es el cuadrado de la desviación estándar.

\[\sigma\approx3.901\]

\[\sigma^2\approx(3.901)^2\approx15.22\]

\(\sigma\approx3.90,\quad \sigma^2\approx15.22\)

a) La mayor frecuencia es \(22\), que corresponde a la nota \(4\).

\(\text{Moda}=4\)

b) El rango es la nota más alta menos la nota más baja.

\[5-1=4\]

\(\text{Rango}=4\)

c) Calculamos la media ponderada con las frecuencias.

\[\bar{x}=\frac{1(15)+2(11)+3(17)+4(22)+5(8)}{15+11+17+22+8}\]

\[\bar{x}=\frac{216}{73}\approx2.96\]

\(\bar{x}\approx2.96\)

d) La desviación estándar poblacional es aproximadamente \(1.3079\), por lo que:

\[\sigma^2\approx(1.3079)^2\]

\(\sigma^2\approx1.71\)

a) La frecuencia total debe ser \(20\).

\[2+X+7+5+3=20\]

\[X+17=20\]

\(X=3\)

b) Para \(3\) o más penaltis, sumamos las frecuencias de \(3\), \(4\) y \(5\).

\[7+5+3=15\]

\[P=\frac{15}{20}=\frac34\]

\(\frac34\)

c) La media es la suma ponderada dividida por \(20\).

\[\bar{x}=\frac{1(2)+2(3)+3(7)+4(5)+5(3)}{20}\]

\[\bar{x}=\frac{64}{20}\]

\(\bar{x}=3.2\)

a) La frecuencia total debe ser \(30\).

\[2+4+X+8+6+2+2+1=30\]

\[X+25=30\]

\(X=5\)

b) Para \(4\) o más golpes, sumamos las frecuencias desde \(4\) hasta \(8\).

\[8+6+2+2+1=19\]

\[P=\frac{19}{30}\]

\(\frac{19}{30}\)

c) Calculamos la media ponderada.

\[\bar{x}=\frac{1(2)+2(4)+3(5)+4(8)+5(6)+6(2)+7(2)+8(1)}{30}\]

\[\bar{x}=\frac{121}{30}\]

\(\bar{x}\approx4.03\)

a) Si a cada dato se le suma \(7\), la media también aumenta en \(7\).

\[20+7=27\]

\(\text{nueva media}=27\)

b) Sumar una constante no cambia la dispersión, por lo que la desviación estándar permanece igual.

\(\text{nueva desviación estándar}=3\)

c) Si cada dato se multiplica por \(4\), la media también se multiplica por \(4\).

\[20\times4=80\]

\(\text{nueva media}=80\)

d) La desviación estándar también se multiplica por el valor absoluto del factor.

\[3\times4=12\]

\(\text{nueva desviación estándar}=12\)

a) Usamos la fórmula de la media ponderada. El total de jugadores es \(3+5+x+1+1=x+10\).

\[\frac{0(3)+1(5)+2x+3(1)+4(1)}{x+10}=\frac43\]

\[\frac{2x+12}{x+10}=\frac43\]

\[3(2x+12)=4(x+10)\]

\[6x+36=4x+40\]

\(x=2\)

b) Con \(x=2\), el total es \(12\) y la media es \(\frac43\). Calculamos \(E(X^2)\).

\[E(X^2)=\frac{0^2(3)+1^2(5)+2^2(2)+3^2(1)+4^2(1)}{12}\]

\[E(X^2)=\frac{38}{12}=\frac{19}{6}\]

La varianza es \(E(X^2)-\mu^2\).

\[\sigma^2=\frac{19}{6}-\left(\frac43\right)^2\]

\[\sigma^2=\frac{25}{18}\]

\(\sigma^2\approx1.39\)

a) El total es \(80\) estudiantes, así que la mediana corresponde al estudiante número \(40\). En el gráfico, esto se lee aproximadamente en \(d=5\).

\(5\text{ km}\)

b) Del gráfico, a \(5\text{ km}\) hay aproximadamente \(40\) estudiantes acumulados y a \(7\text{ km}\) hay aproximadamente \(70\).

\[70-40=30\]

\(30\text{ estudiantes}\)

c) A \(6\text{ km}\), hay aproximadamente \(60\) estudiantes acumulados. Por tanto, más de \(6\text{ km}\) son:

\[80-60=20\]

\[\frac{20}{80}\times100=25\%\]

\(25\%\)

a) El total es \(10\) estudiantes, así que la mediana corresponde al valor cuando la frecuencia acumulada es \(5\). En el gráfico esto es \(5\) decenas de páginas.

\[5\text{ decenas}=50\text{ páginas}\]

\(50\text{ páginas}\)

b) A \(70\) páginas, es decir \(7\) decenas, hay aproximadamente \(8\) estudiantes acumulados. A \(100\) páginas, hay aproximadamente \(9\).

\[9-8=1\]

\(1\text{ estudiante}\)

c) Menos de \(70\) páginas corresponde a \(8\) de los \(10\) estudiantes.

\[\frac{8}{10}\times100=80\%\]

\(80\%\)