Practica ejercicios del tema 4.3 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos tales que \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.4\) y \(P(A\cup B)=0.8\).
a) Usamos la fórmula de la unión de dos eventos.
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
\[0.8=0.6+0.4-P(A\cap B)\]
\(P(A\cap B)=0.2\)
b) Para que sean independientes, debe cumplirse \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
\[P(A)P(B)=0.6(0.4)=0.24\]
Como \(0.2\neq0.24\), los eventos no son independientes.
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos tales que \(P(A)=0.5\), \(P(B)=0.3\) y \(P(A\cup B)=0.65\).
a) Usamos la fórmula de la unión.
\[0.65=0.5+0.3-P(A\cap B)\]
\(P(A\cap B)=0.15\)
b) Comprobamos la independencia.
\[P(A)P(B)=0.5(0.3)=0.15\]
Como \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), los eventos son independientes.
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos tales que \(P(B)=0.4\) y \(P(A\cup B)=0.8\). Encuentre \(P(A)\), dado que \(A\) y \(B\) son:
a) Si los eventos son mutuamente excluyentes, entonces \(P(A\cap B)=0\).
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
\[0.8=P(A)+0.4\]
\(P(A)=0.4\)
b) Si son independientes, entonces \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
\[0.8=P(A)+0.4-0.4P(A)\]
\[0.6P(A)=0.4\]
\(P(A)=\frac23\)
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos tales que \(P(A)=0.3\) y \(P(A\cup B)=0.75\). Encuentre \(P(B)\), dado que \(A\) y \(B\) son:
a) Si son mutuamente excluyentes, \(P(A\cap B)=0\).
\[0.75=0.3+P(B)\]
\(P(B)=0.45\)
b) Si son independientes, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
\[0.75=0.3+P(B)-0.3P(B)\]
\[0.75=0.3+0.7P(B)\]
\[0.7P(B)=0.45\]
\(P(B)=\frac{9}{14}\approx0.643\)
Dos eventos \(A\) y \(B\) son independientes tales que \(P(A\cap B)=P(A\cap B’)=0.4\).
a) El evento \(A\) se divide en dos partes: \(A\cap B\) y \(A\cap B’\).
\[P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B’)\]
\[P(A)=0.4+0.4\]
\(P(A)=0.8\)
b) Como \(A\) y \(B\) son independientes:
\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]
\[0.4=0.8P(B)\]
\(P(B)=0.5\)
c) Ahora usamos la fórmula de la unión.
\[P(A\cup B)=0.8+0.5-0.4\]
\(P(A\cup B)=0.9\)
Dos eventos \(A\) y \(B\) son independientes tales que \(P(A\cap B)=P(A\cap B’)=0.2\).
a) Sumamos las dos partes de \(A\).
\[P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B’)\]
\[P(A)=0.2+0.2\]
\(P(A)=0.4\)
b) Como los eventos son independientes:
\[0.2=0.4P(B)\]
\(P(B)=0.5\)
c) Usamos la fórmula de la unión.
\[P(A\cup B)=0.4+0.5-0.2\]
\(P(A\cup B)=0.7\)
El diagrama de Venn muestra dos eventos \(A\) y \(B\), donde \(P(A)=0.4\), \(P(A\cap B)=0.3\) y \(P(A\cup B)=0.8\).
a) i) La región \(E\) es la intersección, por lo tanto:
\(E=0.3\)
a) ii) La región \(C\) es la parte de \(A\) que no pertenece a \(B\).
\[C=P(A)-P(A\cap B)=0.4-0.3\]
\(C=0.1\)
a) iii) La región \(F\) está fuera de \(A\cup B\).
\[F=1-P(A\cup B)=1-0.8\]
\(F=0.2\)
b) Primero hallamos la parte solo de \(B\).
\[D=P(A\cup B)-C-E=0.8-0.1-0.3=0.4\]
\[P(B)=D+E=0.4+0.3\]
\(P(B)=0.7\)
El diagrama de Venn muestra dos eventos \(A\) y \(B\), donde \(P(B)=0.6\), \(P(A\cap B)=0.3\) y \(P(A\cup B)=0.7\).
a) i) La región \(F\) está fuera de la unión.
\[F=1-P(A\cup B)=1-0.7\]
\(F=0.3\)
a) ii) La región \(D\) es la parte solo de \(B\).
\[D=P(B)-P(A\cap B)=0.6-0.3\]
\(D=0.3\)
a) iii) La región \(E\) es la intersección.
\(E=0.3\)
b) La parte solo de \(A\) es:
\[C=P(A\cup B)-D-E=0.7-0.3-0.3=0.1\]
\[P(A)=C+E=0.1+0.3\]
\(P(A)=0.4\)
Dos eventos \(A\) y \(B\) son tales que \(P(A’\cup B’)=0.7\) y \(P(B’)=0.4\). Encuentre \(P(A\mid B)\).
Por las leyes de De Morgan, \(A’\cup B’=(A\cap B)’\).
\[P(A\cap B)=1-P(A’\cup B’)=1-0.7=0.3\]
Además, \(P(B)=1-P(B’)\).
\[P(B)=1-0.4=0.6\]
Usamos la fórmula de probabilidad condicional.
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0.3}{0.6}\]
\(P(A\mid B)=0.5\)
Dos eventos \(A\) y \(B\) son tales que \(P(A’\cup B’)=0.8\) y \(P(B’)=0.5\). Encuentre \(P(A\mid B)\).
Usamos \(A’\cup B’=(A\cap B)’\).
\[P(A\cap B)=1-0.8=0.2\]
También:
\[P(B)=1-P(B’)=1-0.5=0.5\]
Entonces:
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0.2}{0.5}\]
\(P(A\mid B)=0.4\)
Los sucesos \(D\) y \(C\) son independientes. Se sabe que \(P(D)=0.26\) y \(P(D\cup C)=0.75\). Encuentre \(P(C)\).
Como \(D\) y \(C\) son independientes, \(P(D\cap C)=P(D)P(C)\).
\[P(D\cup C)=P(D)+P(C)-P(D\cap C)\]
\[0.75=0.26+P(C)-0.26P(C)\]
\[0.75=0.26+0.74P(C)\]
\[0.49=0.74P(C)\]
\(P(C)=\frac{49}{74}\approx0.662\)
La bolsa \(B\) contiene \(4\) bolas rojas y \(3\) bolas azules. La bolsa \(A\) contiene \(4\) bolas rojas y \(1\) bola azul.
a) Para que las bolas sean de colores diferentes, puede salir roja de \(A\) y azul de \(B\), o azul de \(A\) y roja de \(B\).
\[P(\text{diferentes})=\frac45\cdot\frac37+\frac15\cdot\frac47\]
\[P(\text{diferentes})=\frac{12}{35}+\frac{4}{35}\]
\(\frac{16}{35}\)
b) El diagrama de árbol completo aparece debajo como medio visual.
c) La probabilidad de roja se calcula por las dos ramas que terminan en roja.
\[P(\text{roja})=\frac13\cdot\frac45+\frac23\cdot\frac47\]
\[P(\text{roja})=\frac{4}{15}+\frac{8}{21}=\frac{68}{105}\]
\(P(\text{roja})=\frac{68}{105}\)
d) Usamos probabilidad condicional.
\[P(\text{cara}\mid\text{roja})=\frac{P(\text{cara y roja})}{P(\text{roja})}\]
\[P(\text{cara}\mid\text{roja})=\frac{\frac13\cdot\frac45}{\frac{68}{105}}\]
\(\frac{7}{17}\)
Una bolsa contiene \(8\) canicas verdes y \(4\) canicas amarillas. Se seleccionan dos canicas al azar sin reemplazo.
a) El diagrama de árbol completo aparece debajo como medio visual.
b) i) Para que ambas canicas sean verdes:
\[P(VV)=\frac{8}{12}\cdot\frac{7}{11}\]
\(P(VV)=\frac{14}{33}\)
b) ii) Una verde y una amarilla puede ocurrir en dos órdenes.
\[P(VA\text{ o }AV)=\frac{8}{12}\cdot\frac{4}{11}+\frac{4}{12}\cdot\frac{8}{11}\]
\(\frac{16}{33}\)
b) iii) Al menos una amarilla es el complemento de ambas verdes.
\[P(\text{al menos una amarilla})=1-\frac{14}{33}\]
\(\frac{19}{33}\)
Una bolsa contiene \(5\) canicas azules y \(6\) canicas blancas. Se seleccionan dos canicas al azar sin reemplazo.
a) El diagrama de árbol completo aparece debajo como medio visual.
b) i) Para que ambas sean azules:
\[P(AA)=\frac{5}{11}\cdot\frac{4}{10}\]
\(\frac{2}{11}\)
b) ii) Solo una azul puede ocurrir como azul-blanca o blanca-azul.
\[P=\frac{5}{11}\cdot\frac{6}{10}+\frac{6}{11}\cdot\frac{5}{10}\]
\(\frac{6}{11}\)
b) iii) Al menos una blanca es el complemento de ambas azules.
\[P(\text{al menos una blanca})=1-\frac{2}{11}\]
\(\frac{9}{11}\)
Juan viaja al trabajo cuatro días a la semana y se desplaza en bicicleta o en tren. Cuando llueve, la probabilidad de que Juan use su bicicleta es \(0.1\). Cuando no llueve, la probabilidad de que tome el tren es \(0.3\). La probabilidad de que llueva en un día cualquiera es \(0.4\).
a) Si llueve, la probabilidad de tren es \(0.9\). Si no llueve, la probabilidad de tren es \(0.3\).
\[P(T)=P(L)P(T\mid L)+P(L’)P(T\mid L’)\]
\[P(T)=0.4(0.9)+0.6(0.3)\]
\(P(T)=0.54\)
b) Usamos probabilidad condicional.
\[P(L\mid T)=\frac{P(L\cap T)}{P(T)}=\frac{0.4(0.9)}{0.54}\]
\(P(L\mid T)=\frac23\)
c) Juan viaja \(4\times48=192\) días al año. El coste esperado diario es \(1.40\times0.54\).
\[192(1.40)(0.54)=145.152\]
\(\text{Coste esperado}\approx145.15\text{ euros}\)
En un club de tiro al arco hay \(50\) jugadores que participan en un torneo local. Las puntuaciones obtenidas después de la primera ronda de disparos se muestran en la tabla.
a) Entre \(11\) y \(30\) puntos hay \(12+15=27\) jugadores.
\[P=\frac{27}{50}\]
\(0.54\)
b) Mayor que \(30\) puntos incluye \(31-40\) y \(41-50\).
\[P=\frac{10+5}{50}\]
\(0.30\)
c) Menor o igual que \(20\) incluye \(1-10\) y \(11-20\).
\[P=\frac{8+12}{50}\]
\(0.40\)
En una clase de \(30\) alumnos, cada uno participó en un concurso de ortografía. La tabla muestra el número de faltas de ortografía obtenidas por los estudiantes.
a) \(8\) o más faltas incluye \(8\), \(9\) y \(10\).
\[P=\frac{9+7+3}{30}\]
\(\frac{19}{30}\)
b) Calculamos la media ponderada.
\[\bar{x}=\frac{6(4)+7(7)+8(9)+9(7)+10(3)}{30}\]
\[\bar{x}=\frac{238}{30}\]
\(\bar{x}\approx7.93\)
En un equipo de \(15\) jugadores de baloncesto, cada jugador participó en un concurso de triples. La tabla muestra la cantidad de canastas anotadas.
a) \(1\) o menos triples incluye \(0\) y \(1\).
\[P=\frac{1+3}{15}\]
\(\frac{4}{15}\)
b) Calculamos la media ponderada.
\[\bar{x}=\frac{0(1)+1(3)+2(7)+3(2)+4(2)}{15}\]
\[\bar{x}=\frac{31}{15}\]
\(\bar{x}\approx2.07\)
En una empresa internacional de \(150\) empleados, \(110\) hablan español, \(70\) hablan italiano, \(40\) hablan portugués, \(50\) hablan español e italiano, \(25\) hablan español y portugués, \(15\) hablan italiano y portugués, y \(5\) hablan los tres idiomas.
a) Italiano o portugués corresponde a \(I\cup P\).
\[|I\cup P|=70+40-15=95\]
\[P(I\cup P)=\frac{95}{150}\]
\(\frac{19}{30}\)
b) Español e italiano, pero no portugués, excluye a los que hablan los tres idiomas.
\[50-5=45\]
\(\frac{45}{150}=0.30\)
c) No hablar español es el complemento de hablar español.
\[150-110=40\]
\(\frac{40}{150}=\frac{4}{15}\)
d) Portugués y no español se obtiene quitando los que hablan español y portugués.
\[40-25=15\]
\(\frac{15}{150}=0.10\)
Considere dos sucesos \(A\) y \(B\), donde \(P(A)=m\), \(P(B)=3m\), \(P(A\cap B)=5m^2-0.15\) y \(P(A\cup B)=0.75\). Encuentre el valor de \(m\).
La fuente de solución usa \(P(A\cup B)=0.75\), por lo que resolvemos con ese valor.
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
\[0.75=m+3m-(5m^2-0.15)\]
\[0.75=4m-5m^2+0.15\]
\[5m^2-4m+0.6=0\]
Aplicamos la fórmula cuadrática.
\[m=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4(5)(0.6)}}{2(5)}\]
\[m=\frac{4\pm2}{10}\]
Las dos soluciones son \(m=0.6\) y \(m=0.2\). Pero si \(m=0.6\), entonces \(P(B)=3m=1.8\), lo cual no es posible.
\(m=0.2\)
