9 ejercicios

4.6 – Distribución binomial

Practica ejercicios del tema 4.6 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1
Con calculadora

Una moneda justa se lanza \(20\) veces y se registra el número de veces que cae cara.

  1. Encuentre el número esperado de veces que caiga cara.
  2. Encuentre la probabilidad de que la moneda caiga cara \(15\) veces.

Sea \(X\sim B(20,0.5)\), donde \(X\) es el número de caras.

a) Para una distribución binomial, el valor esperado es \(E(X)=np\).

\[E(X)=20(0.5)\]

\(E(X)=10\)

b) Para exactamente \(15\) caras usamos la fórmula binomial.

\[P(X=15)=\binom{20}{15}(0.5)^{15}(0.5)^5\]

\[P(X=15)=\binom{20}{15}(0.5)^{20}\]

\(P(X=15)\approx0.0148\)

Pregunta 2
Sin calculadora

En un día cualquiera, durante una semana laboral normal de cinco días, hay un \(40\%\) de probabilidad de que Pol tome un taxi para ir al trabajo. Sea \(X\) el número de días en los que toma un taxi.

  1. Encuentre \(E(X)\), el número esperado de veces que Pol tomará un taxi durante una semana laboral normal de cinco días.
  2. Encuentre la probabilidad de que, durante una semana laboral de cinco días, Pol no tome un taxi.
  3. Encuentre la probabilidad de que, durante una semana laboral de cinco días, Pol tome un taxi como máximo una vez.

Sea \(X\sim B(5,0.4)\), porque hay cinco días y la probabilidad de taxi cada día es \(0.4\).

a) El valor esperado es:

\[E(X)=np=5(0.4)\]

\(E(X)=2\)

b) No tomar taxi significa \(X=0\).

\[P(X=0)=\binom50(0.4)^0(0.6)^5\]

\(P(X=0)=0.07776\)

c) Como máximo una vez significa \(X\leq1\).

\[P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)\]

\[P(X\leq1)=0.07776+\binom51(0.4)(0.6)^4\]

\[P(X\leq1)=0.07776+0.2592\]

\(P(X\leq1)=0.33696\)

Pregunta 3
Con calculadora

Ruth lanza un dado sesgado, para el cual la probabilidad de sacar un tres es \(0.25\). Lanza el dado \(10\) veces y registra el número de veces que sale un tres. Encuentre la probabilidad de que:

  1. El dado caiga en un tres \(4\) veces.
  2. El dado caiga en un tres \(4\) veces, primero saliendo un tres \(3\) veces en los primeros \(9\) lanzamientos y luego saliendo un tres en el décimo lanzamiento.

Sea \(X\sim B(10,0.25)\), donde \(X\) es el número de veces que sale un tres.

a) Para que salga tres exactamente \(4\) veces en \(10\) lanzamientos:

\[P(X=4)=\binom{10}{4}(0.25)^4(0.75)^6\]

\(P(X=4)\approx0.146\)

b) Ahora el décimo lanzamiento debe ser un tres, y en los primeros \(9\) lanzamientos debe salir tres exactamente \(3\) veces.

\[P=\binom93(0.25)^3(0.75)^6(0.25)\]

\[P=\binom93(0.25)^4(0.75)^6\]

\(P\approx0.0584\)

Pregunta 4
Con calculadora

Un examen de opción múltiple consta de \(25\) preguntas. Cada pregunta tiene cinco respuestas y solo una es correcta. Para cada pregunta, Carlos elige al azar una de las cinco respuestas.

  1. Encuentre el número esperado de preguntas que Carlos responda correctamente.
  2. Encuentre la probabilidad de que Carlos:
    1. responda exactamente cinco preguntas correctamente
    2. responda más de cinco preguntas correctamente.

Sea \(X\sim B(25,0.2)\), porque hay \(25\) preguntas y la probabilidad de acertar al azar es \(\frac15=0.2\).

a) El número esperado de respuestas correctas es:

\[E(X)=25(0.2)\]

\(E(X)=5\)

b) i) Para exactamente cinco respuestas correctas:

\[P(X=5)=\binom{25}{5}(0.2)^5(0.8)^{20}\]

\(P(X=5)\approx0.196\)

b) ii) Para más de cinco respuestas correctas usamos el complemento acumulado.

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}5)=1-P(X\leq5)\]

\(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}5)\approx0.383\)

Pregunta 5
Con calculadora

Una empresa produce bombillas, de las cuales el \(5\%\) son defectuosas. Las bombillas se empaquetan en cajas de \(120\) bombillas. Se selecciona una caja al azar.

  1. Encuentre la probabilidad de que la caja contenga:
    1. exactamente dos bombillas defectuosas
    2. al menos cuatro bombillas defectuosas.
  2. Dado que hay al menos cuatro bombillas defectuosas en la caja, encuentre la probabilidad de que haya como máximo ocho bombillas defectuosas.
  3. Alba pide \(5\) cajas de bombillas para su empresa. Encuentre la probabilidad de que Alba reciba al menos dos pero no más de \(30\) bombillas defectuosas en su pedido.

Sea \(X\sim B(120,0.05)\), donde \(X\) es el número de bombillas defectuosas en una caja.

a) i) Para exactamente dos defectuosas:

\[P(X=2)=\binom{120}{2}(0.05)^2(0.95)^{118}\]

\(P(X=2)\approx0.0420\)

a) ii) Para al menos cuatro defectuosas usamos el complemento.

\[P(X\geq4)=1-P(X\leq3)\]

\(P(X\geq4)\approx0.856\)

b) La probabilidad pedida es condicional.

\[P(X\leq8\mid X\geq4)=\frac{P(4\leq X\leq8)}{P(X\geq4)}\]

\(P(X\leq8\mid X\geq4)\approx0.828\)

c) En \(5\) cajas hay \(600\) bombillas, así que usamos \(Y\sim B(600,0.05)\).

\[P(2\leq Y\leq30)=P(Y\leq30)-P(Y\leq1)\]

\(P(2\leq Y\leq30)\approx0.548\)

Pregunta 6
Con calculadora

Una fábrica de moda produce gafas de sol. La probabilidad de que unas gafas de sol estén rotas es \(0.08\). Se realiza un control de calidad con una muestra aleatoria de \(100\) gafas de sol.

  1. Encuentre el número esperado de gafas de sol rotas.
  2. Encuentre la probabilidad de que haya al menos dos gafas de sol rotas en la muestra.
  3. Dado que hay al menos una gafa de sol rota en la muestra, encuentre la probabilidad de que haya como máximo seis gafas de sol rotas.

Sea \(X\sim B(100,0.08)\), donde \(X\) es el número de gafas rotas.

a) El número esperado es:

\[E(X)=100(0.08)\]

\(E(X)=8\)

b) Para al menos dos gafas rotas usamos el complemento de \(X=0\) o \(X=1\).

\[P(X\geq2)=1-P(X\leq1)\]

\(P(X\geq2)\approx0.998\)

c) La condición es que hay al menos una gafa rota. Por tanto:

\[P(X\leq6\mid X\geq1)=\frac{P(1\leq X\leq6)}{P(X\geq1)}\]

\[P(X\leq6\mid X\geq1)=\frac{P(X\leq6)-P(X=0)}{1-P(X=0)}\]

\(P(X\leq6\mid X\geq1)\approx0.303\)

Pregunta 7
Con calculadora

La probabilidad de obtener cara cuando se lanza una moneda sesgada es \(0.6\). La moneda se lanza \(400\) veces.

  1. Halle:
    1. la media del número de caras
    2. la varianza del número de caras.
  2. Encuentre la probabilidad de que el número de caras obtenido esté a menos de una desviación estándar de la media.

Sea \(T\sim B(400,0.6)\), donde \(T\) es el número de caras.

a) i) La media de una distribución binomial es \(np\).

\[\mu=400(0.6)\]

\(\mu=240\)

a) ii) La varianza de una distribución binomial es \(np(1-p)\).

\[\operatorname{Var}(T)=400(0.6)(0.4)\]

\(\operatorname{Var}(T)=96\)

b) La desviación estándar es:

\[\sigma=\sqrt{96}\approx9.80\]

Estar a menos de una desviación estándar de la media significa:

\[240-9.80\mathrel{\unicode{x003C}}T\mathrel{\unicode{x003C}}240+9.80\]

\[230.2\mathrel{\unicode{x003C}}T\mathrel{\unicode{x003C}}249.8\]

Como \(T\) es entero, usamos \(231\leq T\leq249\).

\[P(231\leq T\leq249)=P(T\leq249)-P(T\leq230)\]

\(P(231\leq T\leq249)\approx0.668\)

Pregunta 8
Con calculadora

La tasa de supervivencia de un tipo particular de árbol es del \(44\%\). Sergio planta \(50\) de estos árboles seleccionados al azar.

  1. Halle el número esperado de árboles que sobrevivirán.
  2. Encuentre la probabilidad de que más de \(21\) de estos árboles sobrevivan.
  3. Encuentre la probabilidad de que al menos \(18\), pero no más de \(22\), de los árboles sobrevivan.

Sea \(X\sim B(50,0.44)\), donde \(X\) es el número de árboles que sobreviven.

a) El número esperado es:

\[E(X)=50(0.44)\]

\(E(X)=22\)

b) Más de \(21\) árboles significa \(X\geq22\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}21)=P(X\geq22)=1-P(X\leq21)\]

\(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}21)\approx0.554\)

c) Al menos \(18\), pero no más de \(22\), significa \(18\leq X\leq22\).

\[P(18\leq X\leq22)=P(X\leq22)-P(X\leq17)\]

\(P(18\leq X\leq22)\approx0.460\)

Pregunta 9
Con calculadora

En un concurso de televisión, cada concursante tiene siete sobres que puede abrir. Dos sobres están vacíos, dos sobres contienen una tarjeta de regalo de \(10\) dólares, dos sobres contienen una tarjeta de regalo de \(100\) dólares y un sobre contiene una tarjeta de regalo de \(10000\) dólares. Un concursante selecciona aleatoriamente un sobre y gana la cantidad que está dentro.

  1. Encuentre la ganancia esperada de jugar el juego.
  2. Supongamos que hay \(28\) concursantes. Encuentre el número esperado de jugadores que ganen:
    1. una tarjeta de regalo de \(10\) dólares
    2. una tarjeta de regalo de \(100\) dólares
    3. una tarjeta de regalo de \(10000\) dólares.
  3. Encuentre la probabilidad de que:
    1. exactamente cuatro concursantes ganen una tarjeta de regalo de \(10000\) dólares
    2. menos de seis concursantes ganen una tarjeta de regalo de \(10000\) dólares.

a) Primero escribimos las probabilidades de cada premio. Hay \(2\) sobres de \(10\) dólares, \(2\) de \(100\) dólares, \(1\) de \(10000\) dólares y \(2\) vacíos.

\[E(G)=10\left(\frac27\right)+100\left(\frac27\right)+10000\left(\frac17\right)+0\left(\frac27\right)\]

\[E(G)=\frac{20+200+10000}{7}\]

\(E(G)=1460\text{ dólares}\)

b) Para \(28\) concursantes, el número esperado se calcula con \(np\).

\[E(\text{ganan }10)=28\left(\frac27\right)=8\]

\[E(\text{ganan }100)=28\left(\frac27\right)=8\]

\[E(\text{ganan }10000)=28\left(\frac17\right)=4\]

\(8,\;8,\;4\)

c) Sea \(Y\sim B(28,\frac17)\), donde \(Y\) es el número de concursantes que ganan \(10000\) dólares.

i) Exactamente cuatro concursantes:

\[P(Y=4)=\binom{28}{4}\left(\frac17\right)^4\left(\frac67\right)^{24}\]

\(P(Y=4)\approx0.211\)

ii) Menos de seis concursantes significa \(Y\leq5\).

\[P(Y\mathrel{\unicode{x003C}}6)=P(Y\leq5)\]

\(P(Y\mathrel{\unicode{x003C}}6)\approx0.798\)