18 ejercicios

4.7 – Distribución normal

Practica ejercicios del tema 4.7 de Matemáticas AE NS con soluciones desarrolladas para reforzar tus conocimientos y prepararte para los exámenes del Bachillerato Internacional.

Pregunta 1
Sin calculadora

Las notas de un examen \(X\) están distribuidas normalmente con media \(70\). El diagrama muestra que la región sombreada \(S\), a la derecha de \(80\), tiene área \(0.24\).

  1. Calcule \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}80)\).
  2. Calcule \(P(70\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}80)\).
  3. Calcule \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}60)\).
Curva normal con región sombreada · pregunta 1

a) El área sombreada a la derecha de \(80\) es exactamente la probabilidad pedida.

\(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}80)=0.24\)

b) Como la media es \(70\), la mitad derecha de la curva tiene área \(0.5\).

\[P(70\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}80)=0.5-0.24\]

\(0.26\)

c) Los valores \(60\) y \(80\) están a la misma distancia de la media, así que por simetría:

\(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}60)=0.24\)

Pregunta 2
Sin calculadora

La variable aleatoria \(X\) está distribuida normalmente con media \(130\). La región sombreada entre \(115\) y \(145\) tiene área \(0.4\).

  1. Escriba el valor de \(P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}145)\).
  2. Encuentre \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}145)\).
  3. Encuentre \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}115\mid X\mathrel{\unicode{x003C}}145)\).
Curva normal con región central · pregunta 2

a) El área sombreada entre \(115\) y \(145\) es el valor pedido.

\(P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=0.4\)

b) Por simetría, la mitad izquierda hasta la media tiene área \(0.5\), y la mitad de la región central tiene área \(0.2\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=0.5+0.2\]

\(0.7\)

c) Usamos probabilidad condicional.

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}115\mid X\mathrel{\unicode{x003C}}145)=\frac{P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}145)}{P(X\mathrel{\unicode{x003C}}145)}\]

\[=\frac{0.4}{0.7}\]

\(\frac47\approx0.571\)

Pregunta 3
Con calculadora

Una variable aleatoria \(X\) está distribuida normalmente con media \(60\) y desviación estándar \(8\).

  1. En el diagrama, sombree la región que representa \(P(40\leq X\leq65)\).
  2. Encuentre \(P(40\leq X\leq65)\).
  3. Dado que \(P(X\geq k)=0.20\), encuentre el valor de \(k\).
Curva normal para sombrear · pregunta 3

a) La región sombreada aparece debajo como medio visual.

b) Usamos la distribución \(X\sim N(60,8^2)\).

\[P(40\leq X\leq65)=\Phi\left(\frac{65-60}{8}\right)-\Phi\left(\frac{40-60}{8}\right)\]

\(P(40\leq X\leq65)\approx0.728\)

c) Si \(P(X\geq k)=0.20\), entonces \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}k)=0.80\).

\[k=\operatorname{invNorm}(0.80,60,8)\]

\(k\approx66.7\)

Región sombreada para la probabilidad · pregunta 3
Pregunta 4
Con calculadora

Las puntuaciones \(X\) de una prueba de acceso a la universidad se modelan como una distribución normal con media \(205\) y desviación típica \(24.5\).

  1. Encuentre los valores de \(a\) y \(b\) tales que \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}a)=0.25\) y \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}b)=0.25\).
  2. Encuentre el rango intercuartil de las puntuaciones.
  3. Quienes estén en el \(20\%\) superior acceden a la universidad. Carla obtiene \(230\). Determine si Carla accederá.

a) \(a\) es el primer cuartil y \(b\) es el tercer cuartil de \(N(205,24.5^2)\).

\[a=\operatorname{invNorm}(0.25,205,24.5)\approx188.5\]

\[b=\operatorname{invNorm}(0.75,205,24.5)\approx221.5\]

\(a\approx188.5,\quad b\approx221.5\)

b) El rango intercuartil es \(b-a\).

\[221.5-188.5\approx33.0\]

\(IQR\approx33.0\)

c) El \(20\%\) superior empieza en el percentil \(80\).

\[\operatorname{invNorm}(0.80,205,24.5)\approx225.6\]

Como \(230\mathrel{\unicode{x003E}}225.6\), Carla sí accederá a la universidad.

Pregunta 5
Con calculadora

Una máquina se utiliza para llenar botellas. El volumen \(V\) se distribuye normalmente con media \(1000\) ml y desviación estándar \(\sigma\) ml. Se sabe que el \(15\%\) de las botellas contienen más de \(1050\) ml.

  1. Encuentre \(\sigma\).
  2. Encuentre \(P(850\leq V\leq1100)\).
  3. Se eligen \(3\) botellas al azar. Encuentre la probabilidad de que todas contengan menos de \(995\) ml.

a) Sabemos que \(P(V\mathrel{\unicode{x003E}}1050)=0.15\), así que \(1050\) corresponde al percentil \(85\).

\[1050=1000+z_{0.85}\sigma\]

\[\sigma=\frac{50}{z_{0.85}}\approx48.2\]

\(\sigma\approx48.2\text{ ml}\)

b) Usamos \(V\sim N(1000,48.2^2)\).

\[P(850\leq V\leq1100)\approx0.980\]

\(0.980\)

c) Primero calculamos \(P(V\mathrel{\unicode{x003C}}995)\) y luego elevamos al cubo porque se eligen \(3\) botellas independientes.

\[P(\text{las 3}\mathrel{\unicode{x003C}}995)=P(V\mathrel{\unicode{x003C}}995)^3\]

\(\approx0.0965\)

Pregunta 6
Con calculadora

En una carrera, las velocidades \(V\) de los coches siguen una distribución normal con media \(130\) km/h y desviación estándar \(4.5\) km/h.

  1. Dibuje un diagrama que represente esta información.
  2. Encuentre la probabilidad de que un coche seleccionado al azar tenga una velocidad menor que \(125.5\) km/h.
  3. De una carrera de \(40\) coches, calcule el número esperado de coches con velocidad menor que \(125.5\) km/h, dando la respuesta como entero.

a) El diagrama aparece debajo como medio visual.

b) Estandarizamos \(125.5\).

\[z=\frac{125.5-130}{4.5}=-1\]

\[P(V\mathrel{\unicode{x003C}}125.5)=P(Z\mathrel{\unicode{x003C}}-1)\]

\(0.159\)

c) El número esperado en \(40\) coches es:

\[40(0.1587)=6.35\]

\(6\text{ coches}\)

Diagrama de distribución normal · pregunta 6
Pregunta 7
Con calculadora

El peso \(W\) de los melones comprados se distribuye normalmente con media \(2500\) g y desviación estándar \(500\) g. En un año, un agricultor cultiva \(640\) melones.

  1. Prediga el número de melones que pesan entre \(1500\) g y \(3000\) g.
  2. El \(8\%\) de los melones que pesan más se clasifican como grandes. Encuentre el peso mínimo para que un melón se venda como grande.

a) Usamos \(W\sim N(2500,500^2)\).

\[P(1500\mathrel{\unicode{x003C}}W\mathrel{\unicode{x003C}}3000)\approx0.819\]

\[640(0.819)\approx523.9\]

\(524\text{ melones}\)

b) El \(8\%\) superior empieza en el percentil \(92\).

\[\operatorname{invNorm}(0.92,2500,500)\approx3202.5\]

\(3203\text{ g}\)

Pregunta 8
Con calculadora

La duración de las películas en un cine está distribuida normalmente con media \(115\) minutos y desviación estándar \(14\) minutos.

  1. Encuentre la probabilidad de que una película dure entre \(99\) y \(112\) minutos.
  2. Mónica ve una película en \(18\) ocasiones. Encuentre el número esperado de ocasiones en las que la película durará menos de \(96\) minutos.
  3. Encuentre la probabilidad de que, en al menos \(6\) de \(20\) ocasiones, la película dure más de \(101\) minutos.

a) Usamos \(T\sim N(115,14^2)\).

\[P(99\mathrel{\unicode{x003C}}T\mathrel{\unicode{x003C}}112)\approx0.289\]

\(0.289\)

b) Primero calculamos \(P(T\mathrel{\unicode{x003C}}96)\), y luego multiplicamos por \(18\).

\[18P(T\mathrel{\unicode{x003C}}96)\approx1.57\]

\(1.57\text{ ocasiones}\)

c) Sea \(Y\sim B(20,p)\), donde \(p=P(T\mathrel{\unicode{x003E}}101)\).

\[p\approx0.841\]

\[P(Y\geq6)=1-P(Y\leq5)\]

\(\approx1.000\)

Pregunta 9
Con calculadora

Una variable aleatoria \(X\) tiene distribución normal con \(\mu=240\) y \(\sigma=30\). Encuentre el rango intercuartil de \(X\).

El rango intercuartil es \(Q_3-Q_1\).

\[Q_1=\operatorname{invNorm}(0.25,240,30)\approx219.8\]

\[Q_3=\operatorname{invNorm}(0.75,240,30)\approx260.2\]

\[IQR=260.2-219.8\]

\(IQR\approx40.5\)

Pregunta 10
Con calculadora

El tiempo que tarda un estudiante en completar un examen sigue una distribución normal con media \(60\) minutos y desviación estándar \(8.5\) minutos.

  1. Encuentre la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar complete el examen en menos de \(70\) minutos.
  2. La probabilidad de que un estudiante tarde entre \(n\) y \(70\) minutos es \(0.3\). Encuentre \(n\).

a) Usamos \(X\sim N(60,8.5^2)\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}70)\approx0.880\]

\(0.880\)

b) Si \(P(n\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}70)=0.3\), entonces:

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}n)=P(X\mathrel{\unicode{x003C}}70)-0.3\]

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}n)\approx0.5803\]

\[n=\operatorname{invNorm}(0.5803,60,8.5)\]

\(n\approx61.7\)

Pregunta 11
Sin calculadora

La longitud \(l\) de lápices de varios tamaños en una fábrica se distribuye normalmente con media \(\mu\). La tabla muestra probabilidades para distintos valores de \(l\). Los lápices con longitud mayor que \(22.8\) cm se consideran extra largos.

  1. Escriba el valor de \(m\).
  2. Demuestre que \(\mu=20\) cm.
Tabla de probabilidades de longitudes · pregunta 11

a) Las probabilidades deben sumar \(1\).

\[m+0.96+0.02=1\]

\(m=0.02\)

b) La distribución normal es simétrica respecto a la media. Como \(P(l\mathrel{\unicode{x003C}}15.6)=0.02\) y \(P(l\mathrel{\unicode{x003E}}24.4)=0.02\), los valores \(15.6\) y \(24.4\) están a la misma distancia de la media.

\[\mu=\frac{15.6+24.4}{2}\]

\(\mu=20\text{ cm}\)

Pregunta 12
Con calculadora

El peso \(P\), en gramos, de unas cápsulas de café sigue una distribución normal con media \(7\) g y desviación estándar \(1.1\) g. Se considera que una cápsula es pequeña si pesa menos de \(p\) gramos.

  1. Dado que el \(4.9\%\) de las cápsulas son pequeñas, encuentre \(p\).
  2. Se selecciona una cápsula pequeña. Encuentre la probabilidad de que pese al menos \(4.2\) g.

a) El \(4.9\%\) inferior corresponde a \(P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)=0.049\).

\[p=\operatorname{invNorm}(0.049,7,1.1)\]

\(p\approx5.18\text{ g}\)

b) Buscamos una probabilidad condicional dentro de las cápsulas pequeñas.

\[P(P\geq4.2\mid P\mathrel{\unicode{x003C}}p)=\frac{P(4.2\leq P\mathrel{\unicode{x003C}}p)}{P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)}\]

\[=\frac{P(P\mathrel{\unicode{x003C}}p)-P(P\mathrel{\unicode{x003C}}4.2)}{0.049}\]

\(\approx0.889\)

Pregunta 13
Con calculadora

Un bosque tiene un gran número de árboles. Las alturas de los árboles están distribuidas normalmente con media \(10\) m y desviación estándar \(2\) m. Un árbol se clasifica como alto si mide más de \(12\) m.

  1. Un árbol es seleccionado al azar:
    1. encuentre la probabilidad de que sea alto
    2. dado que es alto, encuentre la probabilidad de que mida más de \(15\) m.
  2. Dos árboles son seleccionados al azar. Encuentre la probabilidad de que ambos sean altos.
  3. Se seleccionan \(300\) árboles:
    1. encuentre la probabilidad de que al menos \(50\) sean altos
    2. encuentre el número esperado de árboles altos.

a) i) Alto significa medir más de \(12\) m.

\[P(H\mathrel{\unicode{x003E}}12)=1-P(H\leq12)\]

\(0.159\)

a) ii) Usamos probabilidad condicional.

\[P(H\mathrel{\unicode{x003E}}15\mid H\mathrel{\unicode{x003E}}12)=\frac{P(H\mathrel{\unicode{x003E}}15)}{P(H\mathrel{\unicode{x003E}}12)}\]

\(\approx0.0391\)

b) Para dos árboles independientes:

\[P(\text{ambos altos})=(0.1587)^2\]

\(\approx0.0252\)

c) i) Sea \(Y\sim B(300,0.1587)\).

\[P(Y\geq50)\approx0.376\]

\(0.376\)

c) ii) El número esperado es:

\[300(0.1587)=47.6\]

\(47.6\text{ árboles}\)

Pregunta 14
Con calculadora

Las longitudes \(L\), en centímetros, de los peces en un acuario se distribuyen normalmente con media \(17.5\) cm y desviación estándar \(\sigma\) cm.

  1. Escriba la probabilidad de que un pez seleccionado al azar tenga longitud mayor que \(17.5\) cm.
  2. Dado que el \(6.5\%\) de los peces tienen longitud mayor que \(19.6\) cm, encuentre:
    1. \(\sigma\)
    2. la probabilidad de que un pez tenga longitud menor que \(16\) cm.

a) La media divide una distribución normal en dos mitades iguales.

\(P(L\mathrel{\unicode{x003E}}17.5)=0.5\)

b) i) Si \(P(L\mathrel{\unicode{x003E}}19.6)=0.065\), entonces \(P(L\mathrel{\unicode{x003C}}19.6)=0.935\).

\[19.6=17.5+z_{0.935}\sigma\]

\[\sigma=\frac{2.1}{z_{0.935}}\]

\(\sigma\approx1.39\text{ cm}\)

b) ii) Usamos \(L\sim N(17.5,1.39^2)\).

\[P(L\mathrel{\unicode{x003C}}16)\approx0.140\]

\(0.140\)

Pregunta 15
Con calculadora

El tiempo que tarda un estudiante en acabar sus deberes sigue una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\). Se sabe que el \(6\%\) tarda menos de \(21\) minutos y el \(75\%\) tarda menos de \(66\) minutos. Encuentre \(\mu\) y \(\sigma\).

Convertimos los dos porcentajes en ecuaciones con puntuaciones típicas.

\[\frac{21-\mu}{\sigma}=z_{0.06}\]

\[\frac{66-\mu}{\sigma}=z_{0.75}\]

Con \(z_{0.06}\approx-1.555\) y \(z_{0.75}\approx0.674\):

\[21=\mu-1.555\sigma\]

\[66=\mu+0.674\sigma\]

Restamos las ecuaciones para hallar \(\sigma\).

\[45=2.229\sigma\]

\(\sigma\approx20.2\)

Sustituimos para hallar \(\mu\).

\[\mu=66-0.674(20.2)\]

\(\mu\approx52.4\)

Pregunta 16
Con calculadora

Los volúmenes, en ml, de botellas de aceite de oliva se modelan con una distribución normal de media \(1016\) ml y desviación estándar \(24\) ml.

  1. Encuentre la probabilidad de que una botella tenga volumen menor que \(1000\) ml.
  2. La probabilidad de que una botella tenga volumen mayor que \(V\) ml es \(0.366\). Encuentre \(V\).
  3. Dado que una botella tiene volumen mayor que \(1000\) ml, encuentre la probabilidad de que tenga volumen mayor que \(1040\) ml.
  4. En una muestra de \(300\) botellas, determine el número entero esperado de botellas con volumen dentro de \(2\) desviaciones típicas de la media.
  5. Las botellas se entregan en paquetes de \(20\). Determine la probabilidad de que al menos \(4\) botellas de un paquete tengan volumen menor que \(990\) ml.

a) Usamos \(X\sim N(1016,24^2)\).

\[P(X\mathrel{\unicode{x003C}}1000)\approx0.252\]

\(0.252\)

b) Si \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}V)=0.366\), entonces \(P(X\mathrel{\unicode{x003C}}V)=0.634\).

\[V=\operatorname{invNorm}(0.634,1016,24)\]

\(V\approx1024\text{ ml}\)

c) Usamos probabilidad condicional.

\[P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1040\mid X\mathrel{\unicode{x003E}}1000)=\frac{P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1040)}{P(X\mathrel{\unicode{x003E}}1000)}\]

\(\approx0.212\)

d) Dentro de dos desviaciones típicas de la media corresponde aproximadamente a \(0.9545\) de las botellas.

\[300(0.9545)\approx286.35\]

\(286\text{ botellas}\)

e) Sea \(Y\sim B(20,p)\), donde \(p=P(X\mathrel{\unicode{x003C}}990)\).

\[P(Y\geq4)\approx0.301\]

\(0.301\)

Pregunta 17
Con calculadora

Eric cultiva naranjas y los pesos de sus naranjas se distribuyen normalmente con media \(142\) g y desviación estándar \(33\) g.

  1. Calcule el porcentaje de naranjas que pesan entre \(115\) g y \(160\) g.
  2. Eric tiene \(300\) naranjas. Encuentre el número esperado de naranjas que pesan más de \(160\) g, redondeado al entero más cercano.
  3. Encuentre la probabilidad de que al menos \(90\) de las \(300\) naranjas pesen más de \(160\) g.

a) Usamos \(X\sim N(142,33^2)\).

\[P(115\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}160)\approx0.501\]

\(50.1\%\)

b) Primero calculamos \(P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160)\), y multiplicamos por \(300\).

\[300P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160)\approx87.8\]

\(88\text{ naranjas}\)

c) Sea \(Y\sim B(300,P(X\mathrel{\unicode{x003E}}160))\).

\[P(Y\geq90)\approx0.412\]

\(0.412\)

Pregunta 18
Con calculadora

Las alturas \(X\), en metros, de los edificios en una ciudad se distribuyen normalmente con media \(28.4\) m y desviación estándar \(9.1\) m. Los edificios del \(10\%\) superior se consideran muy altos y los del \(15\%\) inferior se consideran pequeños.

  1. Encuentre la probabilidad de que un edificio tenga:
    1. altura entre \(33\) m y \(43\) m
    2. altura de al menos \(35\) m.
  2. Halle:
    1. la altura mínima para que un edificio se considere muy alto
    2. la altura máxima para que un edificio se considere pequeño.
  3. Se seleccionan cuatro edificios. Encuentre la probabilidad de que dos sean muy altos y los otros dos pequeños.
  4. Se seleccionan veinte edificios. Encuentre la probabilidad de que:
    1. ninguno sea muy alto
    2. al menos tres sean muy altos.

a) i) Usamos la normal \(N(28.4,9.1^2)\).

\[P(33\mathrel{\unicode{x003C}}X\mathrel{\unicode{x003C}}43)\approx0.252\]

\(0.252\)

a) ii)

\[P(X\geq35)\approx0.234\]

\(0.234\)

b) i) El \(10\%\) superior empieza en el percentil \(90\).

\[\operatorname{invNorm}(0.90,28.4,9.1)\approx40.1\]

\(40.1\text{ m}\)

b) ii) El \(15\%\) inferior termina en el percentil \(15\).

\[\operatorname{invNorm}(0.15,28.4,9.1)\approx19.0\]

\(19.0\text{ m}\)

c) Hay \(\binom42=6\) formas de elegir cuáles son muy altos y cuáles pequeños.

\[P=6(0.10)^2(0.15)^2\]

\(0.00135\)

d) i) Ninguno muy alto en \(20\) edificios:

\[(0.9)^{20}\]

\(0.122\)

d) ii) Sea \(Y\sim B(20,0.10)\).

\[P(Y\geq3)=1-P(Y\leq2)\]

\(0.323\)