5.4 – Regla de L'Hôpital

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁷ˣ – 1)/(3x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{7x}-1}{3x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{7e^{7x}}{3}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{7}{3}=2.333\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{2.333}\)

Resumen final:

a) El límite es 2.333.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹¹ˣ – 1)/(6x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{11x}-1}{6x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{11e^{11x}}{6}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{11}{6}=1.833\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{1.833}\)

Resumen final:

a) El límite es 1.833.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e³ˣ – 1)/(5x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{5x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}}{5}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{3}{5}=0.600\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.600}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.600.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e²ˣ – 1)/(4x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{4x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{4}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{2}{4}=0.500\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.500}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.500.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁸ˣ – 1)/(x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{8e^{8x}}{1}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{8}{1}=8.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{8.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 8.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁸ˣ – 1)/(8x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{8x}-1}{8x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{8e^{8x}}{8}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{8}{8}=1.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{1.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 1.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁴ˣ – 1)/(3x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{14x}-1}{3x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{14e^{14x}}{3}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{14}{3}=4.667\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{4.667}\)

Resumen final:

a) El límite es 4.667.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁰ˣ – 1)/(9x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{10x}-1}{9x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{10e^{10x}}{9}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{10}{9}=1.111\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{1.111}\)

Resumen final:

a) El límite es 1.111.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁰ˣ – 1)/(2x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{10x}-1}{2x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{10e^{10x}}{2}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{10}{2}=5.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{5.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 5.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁷ˣ – 1)/(9x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{7x}-1}{9x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{7e^{7x}}{9}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{7}{9}=0.778\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.778}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.778.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁹ˣ – 1)/(3x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{9x}-1}{3x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{9e^{9x}}{3}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{9}{3}=3.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{3.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 3.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e²ˣ – 1)/(7x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{7x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{7}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{2}{7}=0.286\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.286}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.286.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e²ˣ – 1)/(6x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{6x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{6}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{2}{6}=0.333\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.333}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.333.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁴ˣ – 1)/(2x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{14x}-1}{2x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{14e^{14x}}{2}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{14}{2}=7.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{7.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 7.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e³ˣ – 1)/(3x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{3x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}}{3}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{3}{3}=1.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{1.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 1.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁵ˣ – 1)/(9x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{9x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{5e^{5x}}{9}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{5}{9}=0.556\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.556}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.556.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁴ˣ – 1)/(9x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{14x}-1}{9x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{14e^{14x}}{9}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{14}{9}=1.556\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{1.556}\)

Resumen final:

a) El límite es 1.556.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e¹⁴ˣ – 1)/(x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{14x}-1}{x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{14e^{14x}}{1}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{14}{1}=14.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{14.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 14.000.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e²ˣ – 1)/(3x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{3x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{3}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{2}{3}=0.667\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{0.667}\)

Resumen final:

a) El límite es 0.667.

Enunciado: Evalúa el límite cuando x tiende a 0 de (e⁴ˣ – 1)/(2x).

a)

Al sustituir x = 0 aparece la forma indeterminada 0/0.

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{2x}\]

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.

\[\lim_{x\to0}\frac{4e^{4x}}{2}\]

Sustituimos x = 0 en el cociente de derivadas.

\[\frac{4}{2}=2.000\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{2.000}\)

Resumen final:

a) El límite es 2.000.