5.6 – Tasas de cambio relacionadas

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 3 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 9 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(9)(3)=169.65\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{169.65\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 169.65 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 1 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 8 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(8)(1)=50.27\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{50.27\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 50.27 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 5 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 9 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(9)(5)=282.74\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{282.74\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 282.74 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 1 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 5 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(5)(1)=31.42\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{31.42\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 31.42 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 10 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(2)=125.66\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{125.66\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 125.66 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 3 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 10 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(3)=188.50\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{188.50\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 188.50 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 1 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 7 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(7)(1)=43.98\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{43.98\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 43.98 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 3 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 8 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(8)(3)=150.80\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{150.80\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 150.80 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 5 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 10 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(5)=314.16\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{314.16\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 314.16 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 8 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(8)(2)=100.53\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{100.53\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 100.53 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 11 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(11)(2)=138.23\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{138.23\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 138.23 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 4 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 7 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(7)(4)=175.93\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{175.93\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 175.93 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 5 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 3 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(3)(5)=94.25\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{94.25\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 94.25 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 1 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 10 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(1)=62.83\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{62.83\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 62.83 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 3 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 12 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(12)(3)=226.19\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{226.19\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 226.19 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 4 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(4)(2)=50.27\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{50.27\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 50.27 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 1 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 4 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(4)(1)=25.13\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{25.13\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 25.13 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 4 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 3 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(3)(4)=75.40\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{75.40\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 75.40 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 5 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(5)(2)=62.83\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{62.83\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 62.83 cm²/s.

Enunciado: El radio de un círculo aumenta a 2 cm/s. Halla la tasa de cambio del área cuando r = 6 cm.

a)

El área de un círculo es A = πr².

\[A=\pi r^2\]

Derivamos respecto al tiempo usando la regla de la cadena.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\]

Sustituimos r y dr/dt.

\[\frac{dA}{dt}=2\pi(6)(2)=75.40\]

Después de sustituir los datos, revisamos que la operación usada coincide con la información del enunciado y que no se ha cambiado el significado de la variable.

Cuando aparece una aproximación decimal, mantenemos suficientes cifras durante el cálculo y redondeamos solo al escribir la respuesta final.

El último cálculo responde exactamente a lo que se pide en el apartado.

Escribimos la respuesta final en una línea separada para que quede claro el resultado.

\(\boxed{75.40\text{ cm}^2/\text{s}}\)

Resumen final:

a) La tasa de cambio del área es 75.40 cm²/s.